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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 7: Estudio de Funciones

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6. Determine los intervalos de concavidad y convexidad y localice los puntos de inflexión de las siguientes funciones
a) f(x)=x4+3x3+x2−1f(x)=x^{4}+3 x^{3}+x^{2}-1

Respuesta

Vamos a seguir los pasos que vimos en la clase "Puntos de inflexión. Concavidad de una función" 😊

1) El dominio de la función es R\mathbb{R}

2) Calculamos f′(x)f'(x) y f′′(x)f''(x)

f′(x)=4x3+9x2+2x f'(x) = 4x^3 + 9x^2 + 2x

f′′(x)=12x2+18x+2 f''(x) = 12x^2 + 18x + 2

3) Igualamos f′′(x)f''(x) a cero para encontrar los puntos de inflexión

12x2+18x+2=0 12x^2 + 18x + 2 = 0

Los resultados de esta cuadrática son

x1=−9+5712 x_1 = \frac{-9 + \sqrt{57}}{12} x2=−9−5712 x_2 = \frac{-9 - \sqrt{57}}{12}

(si, son medios fuleros, pero son esos jeje 😅)

4) Dividimos la recta real en intervalos donde f′′(x)f''(x) es continua y no tiene raíces, y nos fijamos el signo:

a) (−∞, −9−5712)→f′′(x)>0→f(x)(-\infty, \frac{-9 - \sqrt{57}}{12}) \rightarrow f''(x) > 0 \rightarrow f(x) es cóncava hacia arriba

b) (−9−5712), −9+5712)) →f′′(x)<0→f(x)(\frac{-9 - \sqrt{57}}{12}), \frac{-9 + \sqrt{57}}{12})) \rightarrow f''(x) < 0 \rightarrow f(x) es cóncava hacia abajo

c) ( −9+5712),+∞) →f′′(x)>0→f(x)( \frac{-9 + \sqrt{57}}{12}), +\infty) \rightarrow f''(x) > 0 \rightarrow f(x) es cóncava hacia arriba

Como se produjo efectivamente un cambio de concavidad, entonces x=−9+5712 x = \frac{-9 + \sqrt{57}}{12} y x=−9−5712 x = \frac{-9 - \sqrt{57}}{12} son puntos de inflexión de ff. 
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